sec 函数也就是正割函数，它的不定积分结果是 ln 绝对值 secx 加 tanx 再加常数 C，这个是高数里面经典积分公式，secx 等于 1 除以 cosx，这个积分不能直接套用基本积分表，需要用到分子分母同乘 secx 加 tanx 的技巧，属于凑微分法的典型题型，很多同学记不住推导，只会死背答案，考试一旦换形式就容易出错，同时这个公式和 csc 函数不定积分经常放在一起对比，最大区别就是符号还有里面的函数组合，做题的时候要注意绝对值，因为对数里面的真数必须大于零，定义域要求 cosx 不等于零，也就是 x 不等于二分之派加 k 派。
一 基础定义
secx 正割函数 secx = 1 /cosx
定义域 x 不等于 π/2 + kπ k 为整数
不定积分 ∫secx dx，目标就是求出所有原函数，结果后面必须加上积分常数 C
二 完整推导过程
第一步 分子分母同时乘以 secx 加 tanx
∫secx dx = ∫ secx 乘以 secx 加 tanx 除以 secx 加 tanx dx
第二步 展开分子
分子变成 sec 平方 x 加 secx tanx
第三步 观察分子是分母的导数
分母 u = secx 加 tanx
对 u 求导 u 导 = secx tanx 加 sec 平方 x
正好和分子完全相等，满足凑微分 du = 分子 dx
第四步 替换积分
积分变成 ∫ 1/u du
基本积分公式 ∫1/u du = ln 绝对值 u + C
第五步 回代 u
最终 ∫secx dx = ln 绝对值 secx 加 tanx + C
三 等价变形写法
这个公式还有另外一种等价形式，ln 绝对值 tan (四分之派加二分之 x) + C
两种写法是相等的，考试两种答案都算正确，但是绝大多数教材优先写 ln 绝对值 secx 加 tanx + C
四 配套易混积分对照表
| 函数 | 不定积分结果 |
|---|---|
| secx | ln 绝对值 secx 加 tanx + C |
| cscx | 负 ln 绝对值 cscx 加 cotx + C |
| tanx | 负 ln 绝对值 cosx + C |
| cotx | ln 绝对值 sinx + C |
五 拓展复合积分要点
如果是复合 sec 函数，比如∫sec (ax) dx，套用链式积分思路，结果就是 a 分之一 乘以 ln 绝对值 sec (ax) 加 tan (ax) + C
注意点
1 不要漏掉常数 C，大题写原函数必须加 C，填空很多阅卷会扣分
2 绝对值不能省略，secx 加 tanx 有可能为负数，对数真数不能是负数
3 这个积分经常和分部积分 三角代换结合，在定积分应用题里面高频出现
最终判断
sec 函数的不定积分标准结果是 ln 绝对值 secx 加 tanx + C，核心技巧是分子分母同乘 secx 加 tanx 做凑微分，牢记绝对值和常数 C，和 csc 函数积分区分正负号，定积分计算的时候直接套用这个原函数代入上下限即可。
【常见问题】
问题 1 sec 函数的不定积分 为什么要分子分母同乘 secx 加 tanx
回答 1 sec 函数的不定积分推导，分子分母同乘 secx 加 tanx，目的就是构造出分母的微分，实现凑微分，把积分转换成 lnu 的基本积分形式，这是这个积分最关键的技巧。
问题 2 sec 函数的不定积分 能不能漏掉绝对值符号
回答 1 sec 函数的不定积分不能漏掉绝对值，secx 加 tanx 存在负数区间，对数函数要求真数大于零，省略绝对值属于书写错误，考试会扣分。
问题 3 sec 函数的不定积分 和 csc 函数不定积分差别在哪里
回答 1 sec 函数的不定积分是 ln 绝对值 secx 加 tanx + C，csc 函数不定积分前面带有负号，是负 ln 绝对值 cscx 加 cotx + C，二者函数组合还有正负号都不一样，背诵的时候注意区分。
【免责申明】
本文为高等数学三角积分教学，公式推导参考通用高数教材，学习内容仅供参考，正式考试答题以教材和考试大纲规范为准。